$\mathbb F_2$ 上的线性草图

我们开启了对 $\mathbb F_2$ 上线性草图的系统研究。对于给定的布尔函数 $f \colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$，随机化 $\mathbb F_2$-草图是元素取自 $\mathbb F_2$ 的 $d \times n$ 矩阵上的分布 $\mathcal M$，使得 $\mathcal Mx$ 足以以高概率计算 $f(x)$。我们研究了 $\mathbb F_2$-草图与相应异或函数（XOR-function）的两人单向通信博弈之间的联系。我们的结果表明，该通信博弈刻画了均匀分布下的 $\mathbb F_2$-草图（直至对误差的依赖性）。该结果的推论包括：1) 递归多数函数的 $\mathbb F_2$-草图复杂度的组合定理，2) $\mathbb F_2$-草图复杂度与傅里叶稀疏性之间的紧密关系，3) 某类对称函数的下界。我们还通过设计最优尺寸的 $\mathbb F_2$-草图，完全解决了 Montanaro 和 Osborne 关于线性阈值函数单向通信复杂度的猜想。此外，我们表明，必须处理 $\mathbb F_2$ 上随机更新的（非一致）流算法可构造为均匀分布下的 $\mathbb F_2$-草图，且仅带来微小损失。与 Li、Nguyen 和 Woodruff（STOC'14）先前的工作（他们在对抗性设定下展示了整数上线性草图的类似结果）相反，我们的结果不要求流长度为 $n$ 的三重指数，并且适用于通过均匀随机更新构造的长度 $\tilde O(n)$ 的流。最后，我们提出一个猜想，即询问异或函数的最优单向通信协议是否可构造为仅有微小损失的 $\mathbb F_2$-草图。