改进的循环 $k$-失配草图

两个等长字符串 $S_1$ 与 $S_2$ 之间的移位距离 $\mathsf{sh}(S_1,S_2)$ 定义为 $S_1$ 与 $S_2$ 的任意旋转（循环移位）之间的最小汉明距离。我们研究移位距离的草图问题，这是一个如下的通信复杂性问题：长度为 $n$ 的字符串 $S_1$ 和 $S_2$ 分别交给两个相同的参与者（编码器），他们独立地计算草图（摘要）$\mathtt{sk}(S_1)$ 和 $\mathtt{sk}(S_2)$，使得第三名参与者（解码器）在收到两个草图后能以高概率计算（或近似）$\mathsf{sh}(S_1,S_2)$。本文主要关注该问题更一般的 $k$-失配版本，其中若 $\mathsf{sh}(S_1,S_2)>k$（其中 $k$ 为各方均知的参数），解码器可声明失败。Andoni 等人（STOC'13）引入了大小为 $\widetilde{O}(k+D(n))$ 的精确循环 $k$-失配草图，其中 $D(n)$ 为 $n$ 的因子个数。Andoni 等人还表明其草图大小在线性同态草图类中是最优的。我们通过设计大小为 $\widetilde{O}(k)$ 的（非线性）精确循环 $k$-失配草图规避了该下界；此大小与通信复杂性下界相匹配。我们还设计了大小为 $\widetilde{O}(\min(\varepsilon^{-2}\sqrt{k}, \varepsilon^{-1.5}\sqrt{n}))$ 的 $(1\pm \varepsilon)$-近似循环 $k$-失配草图，改进了 Crouch 与 McGregor（APPROX'11）的 $\widetilde{O}(\varepsilon^{-2}\sqrt{n})$ 大小草图。