一种改进的编辑距离草图算法

我们给出了编辑距离的同时草图复杂度的改进上界。考虑两方：拥有输入 $x\in\Sigma^n$ 的Alice和拥有输入 $y\in\Sigma^n$ 的Bob，他们共享公共随机性，并已知其两个字符串间的编辑距离 $\mathsf{ed}(x,y)$ 不超过某个给定值 $k$ 的承诺。Alice必须发送消息 $sx$、Bob必须发送消息 $sy$ 给第三方Charlie，Charlie不知晓输入但共享相同公共随机性且已知 $k$。Charlie必须精确输出 $\mathsf{ed}(x,y)$ 以及将 $x$ 变换为 $y$ 所需的 $\mathsf{ed}(x,y)$ 个编辑序列。目标是最小化所发送消息的长度 $|sx|, |sy|$。Belazzougui和Zhang（FOCS 2016）基于Chakraborty、Goldenberg和Kouck\'y（STOC 2016）的随机游走方法构建的协议，实现了 $\tilde O(k^8)$ 比特的最大消息长度，其中 $\tilde O(\cdot)$ 隐藏了 $\mathrm{poly}(\log n)$ 因子。本工作中我们基于Belazzougui和Zhang的协议并给出改进分析，证明对其构造稍作修改可实现 $\tilde O(k^3)$ 的界。