度量测度空间的草图与聚类

几何数据集分析中的两个重要优化问题是聚类和草图。此处，聚类指将某个输入度量测度空间（mm-空间）划分为k个簇、使某个目标函数f最小化的划分问题。另一方面，草图是用一个支撑于k个点集上的更小空间来近似某个mm-空间的问题。具体地，我们将某个mm-空间M的k-草图定义为在mm-空间集合上基于某距离函数\rho的k点mm-空间中最接近M的邻点。本文中，我们展示了一般类别的聚类与草图问题之间的对偶性。我们提出了一种通用方法，可高效地将聚类问题的解转化为草图问题的解，反之亦然，且代价近似相等。更具体地，我们得到以下结果。1. 对于度量空间，我们考虑聚类目标为最小化最大簇直径的情形。我们证明在紧度量空间上草图目标与聚类目标之比为常数。2. 我们将这些结果推广到度量测度空间，证明草图目标与聚类目标之比被某些通用常数上下界约束。在此设定下，聚类目标涉及最小化簇的各种$l_p$直径概念。3. 我们考虑mm-空间的两种竞争草图概念，其中之一比另一更严苛。这些概念源于文献中出现的两种不同p-Gromov–Wasserstein距离定义。然后我们证明，尽管二者之间的差距可任意大，但在双倍度量空间情形下所得草图目标是多项式相关的。