高维立方体的高效量化与弱覆盖

设 $\mathbb{Z}_n = \{Z_1, \ldots, Z_n\}$ 为一个设计；即 $n$ 个点 $Z_j \in [-1,1]^d$ 的集合。我们研究由 $\mathbb{Z}_n$ 的点对 $[-1,1]^d$ 的量化质量，以及由 ${\cal B}_d(\mathbb{Z}_n,r)$（即以 $\mathbb{Z}_n$ 中 $Z_j$ 为中心的球的并集）对 $[-1,1]^d$ 的覆盖质量问题。我们聚焦于维数 $d$ 不小（$d\geq 5$）且 $n$ 不太大，$n \leq 2^d$ 的情形。我们将设计 ${\mathbb{D}_{n,\delta}}$ 定义为定义在立方体 $[-\delta,\delta]^d$ 顶点上的 $2^{d-1}$ 设计，$0\leq \delta\leq 1$。对于该设计，我们推导了量化误差的闭式表达式，以及对覆盖面积 vol$([-1,1]^d \cap {\cal B}_d(\mathbb{Z}_n,r))$ 的非常精确的近似。我们提供了大规模数值研究的结果，证实了所开发近似的准确性和设计 ${\mathbb{D}_{n,\delta}}$ 的高效性。