高效的差分隐私加权 $F_0$ 线性草图

线性草图的一个强大特性是，从两个数据向量的草图可以计算出向量之差的草图。这使我们能够回答关于两个数据集之间差异的细粒度问题。在本工作中，我们考虑如何构造加权 $F_0$（即数据集中元素的权重之和）的草图，这些草图具有规模小、差分隐私且计算高效的特点。给定权重向量 $w\in(0,1]^u$。对于 $x\in\{0,1\}^u$，我们关注估计 $\Vert x\circ w\Vert_1$，其中 $\circ$ 为哈达玛积（逐元素积）。基于 Kushilevitz 等人（STOC 1998）的技术，我们引入了一种（依赖于 $w$ 的）草图，该草图在 GF(2) 上线性，将向量 $x\in \{0,1\}^u$ 映射到 $Hx\in\{0,1\}^\tau$，其中矩阵 $H$ 从合适分布 $\mathcal{H}$ 中采样。差分隐私通过使用随机响应实现，以概率 $p<1/2$ 翻转 $Hx$ 的每一位。我们证明，对于每一个 $0<\beta < 1$ 和 $\varepsilon=O(1)$ 的选择，存在 $p<1/2$ 和大小为 $\tau = O(\log^2(u)\varepsilon^{-2}\beta^{-2})$ 的线性草图分布 $\mathcal{H}$，使得：1) 对于随机 $H\sim\mathcal{H}$ 和噪声向量 $\varphi$，给定 $Hx + \varphi$，我们可以以 $1-1/u$ 的概率计算出 $\Vert x\circ w\Vert_1$ 的估计，其精度在因子 $1\pm\beta$ 内，外加加性误差 $O(\log(u)\varepsilon^{-2}\beta^{-2})$；2) 对于每一个 $H\sim\mathcal{H}$，$Hx + \varphi$ 在 $\varphi$ 的随机性下是 $\varepsilon$-差分隐私的。特例 $w=(1,\dots,1)$ 为未加权 $F_0$。我们的结果既提升了现有未加权 $F_0$ 估计方法的效率，又推广到加权情形。我们还给出了用于估计两个输入流之间并集大小的分布式流处理实现。