改进的差分隐私欧几里得距离近似

本工作展示了如何以隐私方式更准确地估计向量对之间的欧几里得距离。输入向量 $x$ 和 $y$ 被映射为差分隐私草图 $x'$ 和 $y'$，从中可以估计 $x$ 和 $y$ 之间的距离。我们的估计器依赖于 Kane 与 Nelson (Journal of the ACM 2014) 的更稀疏 Johnson-Lindenstrauss 构造，该构造对于任意 $0<\alpha,\beta<1/2$ 具有最优输出维度 $k=\Theta(\alpha^{-2}\log(1/\beta))$ 和稀疏度 $s=O(\alpha^{-1}\log(1/\beta))$。我们根据隐私参数 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 将 Kane 与 Nelson 的构造与差分隐私文献中的 Laplace 或 Gaussian 机制相结合。我们还提出了 Ailon 与 Chazelle (SIAM Journal of Computing 2009) 的快速 Johnson-Lindenstrauss 变换 (FJLT) 的差分隐私版本，该版本在某些参数下提供了速度与水准的权衡。我们通过分析基于拉普拉斯而非高斯噪声的欧几里得距离估计器的隐私和效用保证，回答了 Kenthapadi 等人 (Journal of Privacy and Confidentiality 2013) 的一个开放问题。我们证明，只要 $\delta<\beta^{O(1/\alpha)}$，Laplace 机制产生的方差低于 Gaussian 机制。因此，我们的工作通过对足够小的 $\delta$ 给出具有更低方差的更高效估计器，改进了 Kenthapadi 等人的工作。作为 Laplace 机制的一个简洁副作用，我们的草图还实现了纯差分隐私，而非 Gaussian 机制的近似差分隐私保证，后者在某些场景下可能不够强。