使用广义多项式混沌方法高效确定含奇异势的 Klein-Gordon 与 sine-Gordon 方程的临界参数与统计量

我们考虑具有点状势的 Klein-Gordon 和 sine-Gordon 型方程，该势描述了带有缺陷的无序介质中的波动现象。奇异势项产生了一种临界现象——即临界参数值附近的解行为分岔为两种极端情况。以任意精度确定临界值更具挑战性。在本工作中，我们采用广义多项式混沌（gPC）方法来确定临界值及该值附近的平均解。首先，我们考虑与 Klein-Gordon 方程奇异势强度相关的临界值。我们将解在参数相关的随机变量中进行展开。所得偏微分方程采用 Chebyshev 配点法求解。由于奇异性的存在，解中出现 Gibbs 现象，导致数值计算的临界值收敛缓慢。为处理奇异性，我们采用一致谱配点法。gPC 方法结合一致 Chebyshev 方法，高效地确定了临界值与平均解。随后我们考虑 sine-Gordon 方程，其临界值与扭结孤子解的初始速度相关。此情况下的临界行为为：若孤子解的初始速度分别大于、等于或小于临界值，则解分别穿过（粒子穿过）、被捕获（粒子捕获）或被奇异势反射（粒子反射）。我们利用 gPC 均值而非重构解来寻找临界参数。数值结果表明，使用所提方法能够高效且准确地确定临界值。