（收益）最优机制的效率

我们比较了收益最大化（或称最优）机制与效率最大化机制的预期效率。我们证明，当竞拍者的估值独立同分布于单调风险率分布时，对于出售单一物品，拥有 k + log_{e/(e-1)} k + 1 个竞拍者的收益最大化机制的效率至少与拥有 k 个竞拍者的效率最大化机制的效率相当。令人惊讶的是，我们还证明这个界在 5.7 的小加性常数内是紧的。换句话说，Theta(log k) 个额外竞拍者足以使收益最大化机制匹配效率最大化机制的效率，而 o(log k) 个则不足。这与 Bulow 和 Klemperer 比较两种机制收益的结果形成对比，在他们的结果中，仅需一个额外竞拍者就足够了。更精确地说，他们证明拥有 k+1 个竞拍者的效率最大化机制的收益不低于拥有 k 个竞拍者的收益最大化机制的收益。我们将结果推广到出售 t 个相同物品的情形，并证明 2.2 log k + t Theta(log log k) 个额外竞拍者足以使收益最大化机制匹配效率最大化机制的效率。为了证明我们的结果，我们对单调风险率分布进行了分类，并识别出一族单调风险率分布，使得对于分类中的每一类，该族中都有一个分布在逐点意义上低于该类中的每一个分布。这使我们能够证明关于单调风险率分布的有趣结构定理。