正特征下的有效平凡 Mordell-Lang 定理

Moosa 和 Scanlon 的平凡 Mordell-Lang 定理描述了当 $X$ 是有限域 $\mathbb{F}_q$ 上半阿贝尔簇 $G$ 的子簇，且 $\Gamma$ 是在 $q$ 次幂 Frobenius 自同态 $F$ 下不变的 $G$ 的有限生成子群时，集合 $X\cap\Gamma$ 的情形。此处将该描述变为有效的，并推广到任意交换代数群 $G$ 和任意有限生成 $\mathbb{Z}[F]$-子模 $\Gamma$。方法是使用有限自动机给出 $X\cap\Gamma$ 的具体描述。这些方法和结果即使在局限于以下情形时也有新的应用：$G$ 是有限域上的阿贝尔簇，$X\subseteq G$ 是定义在函数域 $K$ 上的子簇，且 $\Gamma=G(K)$。作为自动机理论方法的应用，我们建立了关于 $X(K)$ 中有界高度点数增长的二分定理。作为 $X\cap\Gamma$ 有效描述的应用，给出了以下三个丢番图问题的判定过程：$X(K)$ 是否非空？是否无穷？是否包含一个无穷陪集？