二维中多边形形状的有效波前

我们研究周期设定下二维 ($n=2$) 一阶波前传播的有效波前。利用基于 PDE 的方法，我们证明了对每个 $\alpha\in (0,1)$，具有有理顶点和非空内部的中心对称多边形类可作为给定 $C^{1,\alpha}(\mathbb T^2,(0,\infty))$ 中波前速度的有效波前。该结果也可用对应于 $\mathbb T^2$ 中周期度量的稳定范数语言表述。当 $n\geq 3$ 且波前速度属于 $C^{\infty}(\mathbb T^n,(0,\infty))$ 时，类似结果早已为人所知。由于拓扑限制，二维情形微妙得多。事实上，对给定的 $C^{1,1}(\mathbb T^2,(0,\infty))$ 波前速度，有效波前是 $C^1$ 的，不可能为多边形。因此我们对波前速度的正则性要求是最优的。据我们所知，这是首次在二维中构造出多边形有效波前。