Edwards曲线点计数方法及超奇异Edwards与Montgomery曲线

我们考虑有限域 $\text{F}_{p^n}$ 上的Edwards代数仿射曲线与射影曲线 \cite{E, SkOdProj}。现代密码学 \cite{SkBlock} 中的大多数密码系统 \cite{SkBlock} 可自然转化为椭圆曲线 \cite{Kob}。我们研究有限域上的Edwards代数曲线，其目前是用于快速群运算的点集最具前景的支撑之一 \cite{Bir}。构造了有限域上Edwards曲线阶的新计数方法。由于椭圆曲线与Edwards曲线之间的双有理等价性，该方法可应用于椭圆曲线的阶。我们不仅找到了使这些曲线为超奇异的特定系数集合及相应的域特征，还给出了一个通用公式，用以判定曲线 $E_d[\mathbb{F}_{p^n}]$ 在该域上是否超奇异。研究了Edwards超奇异曲线在 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上的嵌入次数，并找到了该次数最小的域特征。得到了Edwards曲线在 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上超奇异性的判据。此外，还提出了椭圆曲线上具确定性周期下界的密码稳定序列生成器。