尖峰 PCA 模型中最大特征值的 Edgeworth 修正

我们研究了 $p+1$ 维空间中 $n$ 个零均值高斯观测值的样本协方差矩阵的最大特征值 $\hat{\ell}$ 分布的改进近似。我们假设一个总体主成分的方差为 $\ell > 1$，而其余“噪声”成分具有共同的方差 1。在高维极限 $p/n \to \gamma > 0$ 下，我们开始研究超临界情形 $\ell > 1 + \sqrt \gamma$ 中 $\hat{\ell}$ 极限高斯分布的 Edgeworth 修正。偏度修正涉及一个二次多项式，这与经典设定类似，但其系数反映了高维结构。所采用的方法包括通过对样本噪声特征值进行条件化，获得独立但非同分布变量和的 Edgeworth 展开，以及这些噪声特征值的极限体性质 (bulk properties) 和波动。