具有正磁场的 Iwatsuka 哈密顿量诱导的边缘态

我们研究了二维 $(x,y)$ 空间中仅依赖于 $x$ 坐标的磁场 $b(x)$ 下的纯磁 Schr\"odinger 算子。假设磁场 $b(x)$ 有界，即存在常数 $0 < b_- < b_+ < \infty$ 使得 $b_- \leq b(x) \leq b_+$，且在宽度较小的带状区域 $-\epsilon < x < \epsilon$（其中 $0 < \epsilon < b_-^{-1/2}$）之外，对于 $\pm x > \epsilon$ 有 $b(x) = b_\pm x$。我们也研究了 $\epsilon=0$ 时对应于 $x=0$ 处磁场跳跃的情形。我们证明了该磁场在 $x=0$ 附近产生了一个有效势垒，导致边缘电流沿其流动，这与经典解释一致。我们证明了由能量局域化在哈密顿量能带内的态所承载的边缘电流的下界。我们证明了这些承载边缘电流的态在 $x$ 方向上良好地局域化于大小为 $b_-^{-1/2}$ 的区域内，这也与经典解释一致。我们展示了边缘电流对于各种磁扰动和电扰动是稳定的。对于一族在 $y$ 方向上紧支撑的扰动，我们证明了时间渐近电流存在并满足相同的下界。