E弦、$F_4$与$D_4$三重性

我们研究带Wilson线的$\mathbb{R}^4\times T^2$上的E弦理论。我们考虑出现有趣自同构的两个例子。第一个例子中，谱在作用于Wilson线参数的$F_4$ Weyl群下不变。我们得到用Weyl不变的$F_4$ Jacobi形式表示的Seiberg-Witten曲线。我们还阐明了它如何与Nekrasov型公式的热力学极限相关联。第二个例子中，谱在$D_4$三重性结合模变换下不变，该自同构最初发现于具有四个质量味味的4d $\mathcal{N}=2$超对称$\mathrm{SU}(2)$规范理论。我们引入三重性不变Jacobi形式的概念，并用它们给出Seiberg-Witten曲线。我们展示该Seiberg-Witten曲线在$T^2$收缩至零尺寸的极限下恰好约化为具有四个味味的4d理论的曲线。