竖直条带LLT多项式的$e$-正性

在本文中，我们证明了当 $G_{\mathbf{\nu}}[X;q]$ 为竖直条带LLT多项式时，$G_{\mathbf{\nu}}[X;q+1]$ 的 $e$-正性。该性质已由Alexandersson与Panova以及Garsia、Haglund、Qiu与Romero猜想，并且它蕴含了他们所猜想以及Bergeron所猜想的若干 $e$-正性。我们利用了Carlsson与Mellit的一个结果，该结果表明竖直条带LLT多项式可通过将Dyck路径代数的某些算子复合作用于常数 $1$ 而得到。我们的证明实际上给出了一个将这些对称函数展开为初等基的算法，并且作为一个副产品，它表明这些算子复合实际上是乘法算子。