高连通无序机械系统的动力学、自由概率论与准厄米随机矩阵

高连通的无序机械系统代表了与更常见的无序晶体情况相反的极限。晶体中的单个离子基本上受到最近邻相互作用。相比之下，本文所研究的系统其所有自由度彼此耦合。因此，此类系统的线性化小振荡问题涉及两个满正定且非交换的矩阵，而非与无序晶体相关的稀疏矩阵。因而，多年前由 Dyson 和 Schmidt 引入的、用于确定无序晶体平均振动谱的熟悉方法，对于高连通无序系统是不适用的。本文中，我们应用随机矩阵理论来计算此类系统在系统尺寸趋于无穷极限下的平均振动谱。我们通过自由概率论技术计算了由两个正定随机矩阵之积的平均谱。我们还表明该问题与准厄米随机矩阵理论密切相关。我们获得的谱解析结果与数值结果吻合良好。后者还在高频带边表现出振荡，很好地符合 Airy 核模式。我们还计算了相应振幅特征向量的逆参与比，并证明它们均为扩展的，这与常规无序晶体相反。除矩阵模型分析外，我们研究了各种多段无序摆的振动谱，作为高连通机械系统的具体实现。振动模密度的普适特征——为摆与矩阵模型所共有——是在频率趋于零时趋于非零常数。