二维或三维单纯形的动力系统

设 $T_0=(A_0,..,A_d)$ 为一个 d-单纯形，$G_0$ 为其重心，$S$ 为其外接球，$O$ 为 $S$ 的球心。设 $(B_i)$ 为 $S$ 与直线 $(G_0A_i)$ 的交点，$T_1$ 为 d-单纯形 $(B_1,..,B_d)$，$G_1$ 为其重心。通过迭代此构造，构建了一个具有重心 $(G_i)$ 的 d-单纯形 $(T_i)$ 的动力系统。对于 $d=2$ 或 $3$，我们证明序列 $(OG_i)$ 递减并趋于 0。我们考虑序列 $(T_{2i})_i$ 和 $(T_{2i+1})_i$；对于 $d=2$，它们以至少二次速度收敛到两个等边三角形；对于 $d=3$，它们以至少几何速度收敛到两个等腰四面体。在后一种情况下，我们给出了极限形式边长的显式表达式。我们还证明，如果 $T_0$ 是一个平面循环四边形，那么 $(T_n)$ 以至少几何速度收敛到一个矩形，或者最终以推测为三次的速度收敛到一个正方形。证明主要是代数的，并使用 Groebner 基计算。