动态采样

设 $Y=\{f(i), Af(i),\dots, A^{l_i} f(i): i \in \Omega\}$，其中 $A$ 是 $l^2(I)$ 上的有界算子。所考虑的问题是为 $A$、$\Omega$、$\{l_i:i \in \Omega\}$ 寻找必要且充分的条件，以便从测量值 $Y$ 中恢复任意 $f \in l^2(I)$。这就是所谓的动态采样问题，旨在通过结合 $f$ 的粗采样及其未来状态 $A^l f$ 来恢复函数 $f$。我们在有限维空间中完全解决了这个问题，并在无限维空间中针对一大类自伴算子解决了该问题。在后一种情况下，结合 M"untz-Sz\'asz 定理与 Kadison-Singer/Feichtinger 定理，我们证明了当 $\Omega$ 有限时，$Y$ 永远不能成为 Riesz 基。我们还可以证明，当 $\Omega$ 有限时，$Y=\{f(i), Af(i),\dots, A^{l_i}f(i): i \in \Omega\}$ 除非在某些非常特殊的情况下，否则不是一个框架。这些特殊情况的存在性源于 Hardy 空间 $H^2(\mathbb{D})$ 中插值序列的 Carleson 定理。