有限元外微积分中的对偶性与球面上的 Hodge 对偶

有限元外微积分指针对微分形式发展有限元方法，将早先若干标量场与向量场的有限元空间推广到任意维数 $n$、任意多项式次数 $r$ 与任意微分形式次数 $k$。有限元外微积分的研究始于单纯形三角剖分上的 $\mathcal P_r\Lambda^k$ 与 $\mathcal P_r^-\Lambda^k$ 有限元空间族。在构建这些空间时，Arnold、Falk 与 Winther 依赖于 $\mathcal P_r\Lambda^k$ 与 $\mathring{\mathcal P}_{r+k+1}^-\Lambda^{n-k}$ 之间以及 $\mathcal P_r^-\Lambda^k$ 与 $\mathring{\mathcal P}_{r+k}\Lambda^{n-k}$ 之间的对偶关系。本文中，我们表明该对偶关系本质上是标准 $n$-球面上微分形式的 Hodge 对偶，只是被坐标变换所掩盖。我们去除伪装，给出 $\mathcal P_r\Lambda^k$、$\mathcal P_r^-\Lambda^k$、$\mathring{\mathcal P}_r\Lambda^k$ 与 $\mathring{\mathcal P}_r^-\Lambda^k$ 空间与球面上微分形式空间之间的显式对应。作为直接推论，我们获得了 $\mathcal P_r\Lambda^k$ 与 $\mathring{\mathcal P}_{r+k+1}^-\Lambda^{n-k}$ 之间以及 $\mathcal P_r^-\Lambda^k$ 与 $\mathring{\mathcal P}_{r+k}\Lambda^{n-k}$ 之间新的逐点对偶同构，并以示例说明。