范围测试与无响应测试之间的对偶性及其在反问题中的应用

在本文中，我们将展示对于$\Omega\setminus\overline D$中拉普拉斯方程的反边值问题，其中障碍物$D\Subset\Omega$的边界$\partial D$从$\Omega$的边界$\partial\Omega$可见，且测量以$\partial\Omega$上的一组柯西数据给出，范围测试（RT）与无响应测试（NRT）之间的对偶性。此处柯西数据由$\Omega\setminus\overline D$中拉普拉斯方程边值问题的唯一解$u$给出，该问题在$\partial D$和$\partial\Omega$上分别具有齐次和非齐次狄利克雷边界条件。这些测试方法是域采样方法，利用测试域及相关的指示函数来估计障碍物的位置。并且这两种测试方法均可测试$u$到测试域外部的解析延拓。由于这些方法是通过彼此对偶的某些算子定义的，我们可以预期两种方法之间存在对偶性。我们将根据与其指示函数相关的预指示函数的等价性给出这种对偶性。作为对偶性的一个应用，使用RT对$D$的重建给出了使用NRT对$D$的重建，反之亦然。若$\partial\Omega$上柯西数据的狄利克雷数据不恒为零且相关正问题的解不具有跨$\partial D$的解析延拓，我们也将不使用对偶性给出这些重建各自的结果。此外，我们将表明若$D$为凸多边形且满足以下两性质之一：其所有顶角均为无理数且其直径小于其到$\partial\Omega$的距离，这些方法仍可对$D$进行重建。