对偶性与鞅问题的适定性

对于两个 Polish 状态空间 $E_X$ 和 $E_Y$ 以及一个算子 $G_X$,我们获得了 $G_X$-鞅问题的存在性与唯一性,前提是存在 $E_X \times E_Y$ 上的有界连续对偶函数 $H$,以及 $E_Y$ 上作为 $G_Y$-鞅问题唯一解的其对偶过程 $Y$。对于相应的解 $(X_t)_{t\ge 0}$ 和 $(Y_t)_{t\ge 0}$,关于函数 $H$ 的最简单形式对偶性意味着关系 $\mathbb E_x[H(X_t,y)] = \mathbb E_y[H(x,Y_t)]$ 对所有 $(x,y) \in E_X \times E_Y$ 和 $t\ge 0$ 成立。尽管对偶性已知可推出 $G_X$-鞅问题的唯一性,我们在此给出一组条件,在这些条件下对偶性也推出存在性,而无需使用不同类型的逼近过程序列(例如用跳跃过程逼近扩散过程)——后者是证明鞅问题解存在性的一种广泛策略。给定过程 $(Y_t)_{t\ge 0}$ 和对偶函数 $H$,为证明 $(X_t)_{t\ge 0}$ 的存在性,必须证明对偶关系右端对每个 $y$ 定义了 $E_X$ 上的一个测度,即存在从 $E_X$ 到 $E_X$ 的转移核 $(\mu_t)_{t\geq 0}$,使得对所有 $(x,y) \in E_X \times E_Y$ 和所有 $t\geq 0$ 有 $\mathbb E_y[H(x,Y_t)] = \int \mu_t(x,dx')\, H(x',y)$。作为例子,我们处理了重采样与分支模型,如 Fleming-Viot 测度值扩散及其空间对应模型(包括离散与连续空间),以及如 Feller 分支扩散等分支系统。尽管我们的主要结果及所有例子都带有(局部)紧状态空间,我们讨论了将结果提升至谱系值过程或历史过程的策略,从而得到非紧(离散与连续)状态空间。此类应用将在基于本文的后续工作中处理。