一类锥线性问题的对偶理论及最优解刻画

对于由凸锥 $S\subset X$、$T\subset Y$、双线性对称目标函数 $\langle\cdot,\cdot\rangle_X$、$\langle\cdot,\cdot\rangle_Y$ 以及线性算子 $A:X\rightarrow Y$ 所描述的一对原始-对偶锥线性问题,我们证明最优解 $x^*\in S$、$y^*\in T$ 满足 $Ax^*=b$ 和 $A^Ty^*=c$ 的存在性最终归结为问题 $min\langle z,z\rangle_Y,\;z\in\{Ax-b:x\in S\}$ 和 $min\langle w,w\rangle_X,\; w\in\{A^Ty-c:y\in T\}$ 的一致性与可解性。假设这两个问题一致且可解,我们通过自然推广的 Farkas 引理在无需闭包条件的情况下得到了强对偶定理以及最优解的几何与代数刻画。主要理论的一些应用在连续线性规划和复空间中的线性规划情形下进行了讨论。