具有 $|x-y|^{-2}$ 相互作用的 Dyson 分层模型中磁化率的双指数增长

我们研究 $d$ 维分层晶格上的长程渗流，其中每条可能边 $\{x,y\}$ 以包含概率 $1-\exp ( -\beta \|x-y\|^{-d-\alpha} )$ 独立随机包含，$\alpha>0$ 固定且 $\beta\geq 0$ 为参数。已知该模型当且仅当 $\alpha<d$ 时在某个 $\beta_c<\infty$ 处发生相变。我们研究 $\alpha \geq d$（此时 $\beta_c=\infty$）机制下的模型，并证明磁化率 $\chi(\beta)$（即原点处簇的期望体积）满足 $$\chi(\beta) = \beta^{\frac{d}{\alpha - d } - o(1)} \qquad \text{当 $\beta \to \infty$ 且 $\alpha > d$} \qquad \text{以及} \qquad e^{e^{ \Theta(\beta) }} \qquad \text{当 $\beta \to \infty$ 且 $\alpha = d$。}$$ 这解决了 Georgakopoulos 与 Haslegrave（2020）提出的一个问题，他们证明了当 $\alpha=d$ 时 $\chi(\beta)$ 在指数与双指数之间增长。我们的结果意味着类似结论对若干相关模型成立，包括 Dyson 分层 Ising 模型，我们所建立的双指数磁化率增长即使在启发式层面看来也是新现象。