双仿射 Hecke 代数与同余群

双仿射 Artin 群(DAAG)与 Hecke 代数(DAHA)的最一般构造将此类对象关联到相容约化群数据的对。我们证明 DAAG/DAHA 总容许由 $A_{2}$ 型 Artin 群的有限指数子群的自同构所给出的忠实作用，该作用降为 $SL(2,\mathbb{Z})$ 或 $PSL(2,\mathbb{Z})$ 的同余子群的忠实外作用。此前这仅在若干特殊情形中被知晓，且据我们所知，甚至未有人猜想其在完全一般性下成立。DAAG/DAHA 的结构复杂性由底层的半单数据、且在很大程度上由伴随数据所刻画；我们通过归约到伴随情形证明了主要结果。伴随 DAAG/DAHA 以自然方式对应于仿射李代数，或更精确地对应于其仿射化 Weyl 群，即 Weyl 群 $W$ 与余根格 $Q^{\vee}$ 的半直积 $W\ltimes Q^{\vee}$。我们现在更详细地描述伴随情形的结果。我们首先给出伴随 DAAG 的一种新的 Coxeter 型表示，作为与某些我们称之为双仿射 Coxeter 图相关的 Coxeter 辫群的商。作为推论，我们证明 $A_{2},B_{2},G_{2}$ 型秩二 Artin 群分别作用于与扭转 $r=1,2,3$ 的仿射李代数相关的伴随 DAAG/DAHA 的自同构上。这推广了 Cherednik 关于 $r=1$ 的基本结果。我们进一步证明上述秩二 Artin 群作用降为同余子群 $\Gamma_{1}(r)$ 的外作用。特别地，$\Gamma_{1}( r)$ 自然地作用于扭转类型 $r$ 的伴随 DAAG/DAHA 的表示同构类集合上，从而在 $\Gamma_{1}( r)$-稳定表示的空间上给出 $\Gamma_{1}( r)$ 的一个射影表示。