直积图的支配数与上支配数

环 $\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}$ 的单位凯莱图，记作 $X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}}$，其顶点为 $0,1, \dots, n-1$，若 $x-y$ 与 $n$ 互质，则 $x$ 与 $y$ 相邻。我们给出了关于已知不等式 $\gamma(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq \gamma_t(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq g(n)$ 紧性的结果，其中 $\gamma$ 和 $\gamma_t$ 分别表示支配数和全支配数，$g$ 是称为 Jacobsthal 函数的算术函数。特别地，我们构造了具有任意多个不同素因子的整数 $n$，使得 $\gamma(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq\gamma_t(X_{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}})\leq g(n)-1$。扩展 Meki\v{s} 的工作，我们给出了完全图直积支配数的下界。我们还对均衡完全多部图直积的上支配数的精确值提出了一个简单猜想，并在某些情况下证明了该猜想。最后，我们提出了一些未解决的问题。