超立方体面上 codewords 分布及新的组合恒等式

我们提出了一种通过 q 值立方中子集分布的几何视角来研究组合恒等式的新框架。通过分析任意子集元素在超立方体 E_q^n 各面上的分布方式，我们发现了带有几何意义的新的组合恒等式。我们证明，对包含于 E_2^n 的任意子集 A，其秩函数满足细化的下界，从而得到小基数情形下的精确计算。具体而言，我们指出对于奇数基数，下界为 4D_A/(|A|^2-1)，其中 D_A 为子集 A 中所有两两哈明距离之和。我们的主要定理建立了连接 k 维面恰好包含子集 A 中 e 个元素的个数与所有基数指定子集的二项求和之间的恒等式。这导致一族参数化的恒等式，其中经典结果可作为特例出现。作为应用，我们通过考察 q 值立方的面，推导出 Vandermonde 恒等式的几何解释，揭示该经典结果自然来源于元素分布的计数。我们还获得了一个针对偶权向量的全新恒等式：(2^(k-1) - 1) × 2^(n-1) × 组合(n,k) 等于从 i=1 到 floor(n/2) 的求和，其中包括组合(n,2i) × 组合(n-2i,k-2i)。该恒等式对所有 1 ≤ k ≤ n 均成立，展示了几何视角如何揭示隐藏的组合关系。我们的框架为通过子集秩分析生成新恒等式并理解既有恒等式提供了统一方法。