观点动力学中的分布式平均

我们考虑任意图上两种简单的异步观点动力学，其中每个节点 $u$ 具有初值 $\xi_u(0)$。在第一个过程 NodeModel 中，每一步 $t\ge 0$ 随机选取一个节点 $u$ 及其 $k$ 个邻居 $v_1,v_2,\cdots,v_k$ 的随机样本。随后，$u$ 将其当前值 $\xi_u(t)$ 更新为 $\xi_u(t+1) = \alpha \xi_u(t) + \frac{(1-\alpha)}{k} \sum_{i=1}^k \xi_{v_i}(t)$，其中 $\alpha \in (0,1)$ 与 $k\ge 1$ 为过程参数。在第二个过程 EdgeModel 中，每步随机选取一对相邻节点 $(u,v)$，然后节点 $u$ 以 $k=1$ 且 $v$ 为所选邻居等价于 NodeModel 的方式更新其值。对两种过程，所有节点的值均收敛于 $F$，一个依赖于每步随机选择的随机变量。对 NodeModel 与正则图，以及 EdgeModel 与任意图，$F$ 的期望为初值平均 $\frac{1}{n}\sum_{u\in V} \xi_u(0)$。对 NodeModel 与非正则图，$F$ 的期望为初值的度加权平均。我们的结果有两方面。我们考虑 $F$ 的集中性，并给出正则图上 $F$ 方差的紧界。我们表明，当初值不依赖于节点数时，方差可忽略，从而节点能够估计节点值的初始平均。有趣的是，该方差不依赖于图结构。证明中我们引入了过程与两个相关随机游走过程之间的对偶性。我们还分析了两种模型在任意图上的收敛时间，给出使所有节点值彼此“$\varepsilon$-接近”所需时间 $T_\varepsilon$ 的界。在初值分布假设下，我们的界渐近紧。