分布式投票中双重选择的力量

分布式投票是分布式计算中的一个基本课题。在拉取投票 (pull voting) 中，每一步每个顶点均匀随机选择一个邻居并采纳其意见。当所有顶点持有相同意见时，投票完成。在许多图类（包括正则图）上，即使初始只有两种不同意见，拉取投票也需要 $\Theta(n)$ 的期望步数才能完成。在本文中，我们考虑一个相关过程，称之为双样本投票 (two-sample voting)：每个顶点在每一步随机选择两个邻居。如果这两个邻居的意见一致，则该顶点根据所选样本修正其意见；否则，保持其原有意见。我们考虑了两种不同意见分别驻留在某些（任意）集合 $A$ 和 $B$ 的顶点上时该过程的性能。此处，$|A| + |B| = n$ 为图的顶点数。我们证明存在一个常数 $K$，使得如果两种意见之间的初始不平衡度 $\nu_0 = (|A| - |B|)/n \geq K \sqrt{(1/d) + (d/n)}$，则以高概率在随机 $d$ 正则图中，双样本投票在 $O(\log n)$ 步内完成，且初始多数意见获胜。我们还表明，对于任何正则图，若 $\nu_0 \geq K \lambda_2$（其中 $\lambda_2$ 是转移矩阵的第二大特征值），也具有相同的性能。在我们考虑的图中，标准拉取投票需要 $\Omega(n)$ 步，且少数派仍以 $|B|/n$ 的概率获胜。