最大独立集与最大匹配的分布式近似

我们提出了一种用于最大权独立集（MaxIS）的简单分布式 $\Delta$-近似算法，在 $\mathsf{CONGEST}$ 模型中于 $O(\texttt{MIS}(G)\cdot \log W)$ 轮内完成，其中 $\Delta$ 是最大度，$\texttt{MIS}(G)$ 是在 $G$ 上计算极大独立集（MIS）所需的轮数，$W$ 是节点的最大权重。我们的算法是随机化的还是确定性的取决于作为黑盒使用的 \texttt{MIS} 算法。代入目前已知最佳的MIS算法可在 $O(\log n \log W)$ 轮内给出一个随机化解，其中 $n$ 是节点数。我们还提出了一种基于着色的确定性 $O(\Delta +\log^* n)$ 轮算法。然后我们展示了如何使用我们的MaxIS近似算法在 $\mathsf{CONGEST}$ 模型中计算最大权匹配的 $2$-近似，且不产生任何额外的轮数惩罚。我们使用了一种已知的归约方法在产生拥塞的情况下于线图上模拟算法，但我们证明了我们的算法属于一大类局部聚合算法，并为此描述了一种机制，使得该模拟可以在 $\mathsf{CONGEST}$ 模型中运行且无额外开销。接下来，我们表明对于最大权匹配，将近似因子放宽至 ($2+\varepsilon$) 使我们能够设计一种对于任意常数 $\varepsilon>0$ 需要 $O(\frac{\log \Delta}{\log\log\Delta})$ 轮的分布式算法。对于无权情况，我们甚至可以在该轮数内获得 $(1+\varepsilon)$-近似。这些算法是首批在关于 $\Delta$ 的依赖性上实现可证明最优轮复杂度的算法。