完全图的简单画法中的不相交面与拓扑海尔布龙问题

给定一个完全简单拓扑图$G$，由$G$生成的$k$-面是由$G$中一条非自交的$k$-圈的各边所围成的有界开区域。有趣的是，存在这样的完全简单拓扑图，其生成的每个奇面都包含原点。本文中，我们证明每个具有$n$个顶点的完全简单拓扑图至少生成$\Omega(n^{1/3})$个两两不相交的4-面。作为一个直接推论，画在单位正方形中的任意$n$顶点完全简单拓扑图生成一个面积至多为$O(n^{-1/3})$的4-面。最后，我们研究海尔布龙三角形问题的一个$\mathbb Z_2$变体。