离散到连续扩展：分段多线性扩展、极小极大理论与谱理论

我们引入齐次与分段多线性扩展，以及局部 Lipschitz 函数对的本征值问题，以建立关联离散与连续极小极大问题的系统框架。这也使我们能够研究 $p$-齐次函数对的谱性质，并为零齐次函数提出临界点理论。主要贡献为：（1）我们给出了原始离散表述与其分段多线性扩展之间的若干极小极大关系。我们引入完美域对的概念，将向量上的共单调性视为集合上包含链的扩展。分段多线性扩展是（切片-）秩保持的，这与陶（Tao）关于对角张量的引理密切相关。获得了更多离散到连续的等式，包括涉及对数凹多项式的一般形式。利用这些基本对应，我们得到了关于张量、图兰（Turán）问题、带符号（超）图等的进一步结果与应用。（2）我们推导了 $p$-齐次函数对的山路刻画、链接定理、节点域不等式、惯性界、对偶定理与特征值分布。我们建立了凸函数次导数上的一个关联凸函数图的 Gauss 映射的新性质。基于这些基本结果，我们可以深入分析本征空间的结构。例如，我们展示了图的顶点 p-Laplacian 与边 $p^*$-Laplacian 的非零特征值之间的简单一一对应。我们还将该理论应用于有向超图与单纯复形上的 Cheeger 不等式和 $p$-Laplacians。此外，给出了黄（Huang）方法在超图上的首个非线性类比。