正定函数的延拓：应用及其调和分析

我们研究两类延拓问题及其相互联系：(i) 局部紧群 $G$ 中定义在子集上的连续正定 (p.d.) 函数的延拓；(ii) 在 Lie 群情形下，由作用于再生核 Hilbert 空间 (RKHS) $\mathscr{H}_{F}$ 中的无界斜 Hermitian 算子给出的相关 Lie 代数 $La\left(G\right)$ 的表示。为何要延拓？在科学中，实验人员经常在观测数据受限的情况下收集谱数据，例如受限于仪器精度，或由于各种其他限制性外部因素。鉴于这一现实，从受限或有限的数据中仍得出可靠结论既是一门艺术，也是一门科学。从一般意义上讲，我们的专著涉及对某些此类从实验获得的给定部分数据集进行延拓的数学。更具体地说，我们关注的是延拓可用的部分信息（例如来自采样）的问题。在我们的情形中，有限信息是一个限制，而延拓则是完整的正定函数（在对偶变量中）；因此，如果存在延拓，它将是一个处处有定义的生成函数，用于精确的概率分布，该分布反映了数据（如果数据完全可用的话）。这种局部信息（以正定函数的形式）的延拓将反过来为我们提供谱信息。以此形式，该问题成为一个算子延拓问题，涉及合适再生核 Hilbert 空间 (RKHS) 中的算子。在我们的阐述中，我们强调了动手实例。延拓几乎从不唯一，因此我们既处理存在性问题，也处理如果存在延拓，它们如何与初始完备化问题相关联的问题。