$k$次幂与$k$抛物面的$\epsilon$-去除型离散限制性估计

本文针对整数 $k$ 次幂集合以及形如 $$\{ (n_1,\dots,n_d,n_1^k + \dotsb + n_d^k) \,:\, |n_1|,\dots,|n_d| \leq N \},$$ 的离散 $d$ 维曲面（我们称之为“$k$抛物面”），得到了 $\epsilon$-去除型的限制性估计。对于这些曲面，我们在 $d,k$ 取较大值时得到了令人满意的指数范围。我们还针对 $k$ 次幂以及维度 $d < k(k-2)$ 的 $k$ 抛物面，在完整的超临界范围内得到了 $\epsilon$-去除型估计。我们运用了源自Bourgain关于平方数限制性理论与离散抛物线工作的多种离散调和分析技术。