离散平均场博弈

在本文中，我们研究了一个离散时间、有限状态数的动态博弈的平均场模型。这些模型出现在涉及大量智能体根据某些最优性准则在状态间移动的情境中。用于最优控制和微分博弈 (连续状态和时间) 的平均场方法由 Lasry 和 Lions 引入。这里我们考虑该问题的离散版本。我们的设定如下：我们假设存在大量相同的智能体，它们可以处于有限个状态中。由于智能体数量非常大，我们采用平均场假设，即全局演化的唯一相关信息是时刻 n 处于每个状态 i 的玩家比例 π^n_i。智能体寻求最小化一个运行成本 (依赖于 π) 加上一个终端成本 V^N。与通常仅需终端成本 V^N 即可求解问题的最优控制不同，在平均场博弈中，要确定解 (即玩家分布 π^n 和值函数 V^n，其中 0≤n≤N)，初始玩家分布 π^0 和终端成本 V^N 都是必需的。由于初始和终端数据都需要指定，我们将此问题称为初-终值问题。解的存在性是非平凡的。尽管如此，遵循 Lasry 和 Lions 的思想，我们能够为平稳问题和初-终值问题建立解的存在唯一性。在论文的最后部分，我们证明了本文的主要结果，即对于具有 (固定) 数据 π^{-N} 和 V^N 的初-终值问题，当 N→∞ 时，(π^0, V^0) 指数收敛到一个平稳解。