超图对称积的差异度

对于超图 ${\mathcal H} = (V,{\mathcal E})$，其 $d$ 重对称积为 $\Delta^d {\mathcal H} = (V^d,\{E^d |E \in {\mathcal E}\})$。我们给出了此类积的 $c$-染色的差异度的若干上界与下界。特别地，我们证明：在 [B. Doerr, A. Srivastav, and P. Wehr, Discrepancy of {C}artesian products of arithmetic progressions, Electron. J. Combin. 11(2004), Research Paper 5, 16 pp.] 中对所有 $d$ 证得的界 ${disc}(\Delta^d {\mathcal H},2) \le {disc}({\mathcal H},2)$ 不能推广到多于 $c = 2$ 种颜色。事实上，对任意满足 $c$ 不整除 $d!$ 的 $c$ 与 $d$，存在具有任意大差异度的超图，且 ${disc}(\Delta^d {\mathcal H},c) = \Omega_d({disc}({\mathcal H},c)^d)$。除依赖 $c$ 与 $d$ 的常数因子外，在这些情形中对称积的表现不优于一般直积 ${\mathcal H}^d$，后者满足 ${disc}({\mathcal H}^d,c) = O_{c,d}({disc}({\mathcal H},c)^d)$。