非局部泊松方程的断裂分析与半解析谱逼近

我们研究具有不可积源项的非局部泊松问题，分析积分核的光滑性如何决定相应解的断裂结构。在积分核满足紧支撑可积条件的一般假设下，我们证明源项中的跳跃断裂被解继承。随后我们识别支配更高阶光滑性的两个主要机制：核在原点的奇异行为以及核或其导数在视界端点处的跳跃断裂。原点的奇异性导致解在源断裂处某些导数的发散，而视界处的跳跃则产生在平移位置处的导数断裂级联。这些现象发生在常用于粘性类型模型的核上。相比之下，紧支撑 C^∞ 核不会产生导数发散或级联光滑性丧失，在这种情况下，源项与解具有等价的分段光滑光滑性。为了解决此分析问题，我们发展了一种半解析谱方法，用于准确处理不可积问题。该方法采用一系列平滑变换和显式构造的校正函数，将原问题转换为正则化问题。随后对平滑问题求解谱方法，最后通过添加回解析校正来恢复对原解的近似。数值实验表明，该方法在准确性和收敛性方面取得显著提升，证明该方法有效缓解了因断裂导致的精度损失和 Gibbs 振荡，同时保持谱方法的效率。