与数位和函数相关的狄利克雷级数

我们研究狄利克雷级数 $F_b(s)=\sum_{n=1}^\infty d_b(n)n^{-s}$，其中 $d_b(n)$ 为整数 $n$ 的 $b$ 进制数位和，以及 $G_b(s)=\sum_{n=1}^\infty S_b(n)n^{-s}$，其中 $S_b(n)=\sum_{m=1}^{n-1}d_b(m)$ 是 $d_b(n)$ 的和函数。我们证明 $F_b(s)$ 与 $G_b(s)$ 可延拓为平面 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数，其阶至少为 2，确定了所有极点的位置，并给出了极点处留数的显式公式。我们利用 Delange 的一个公式给出数位和函数 $d_b$ 与 $S_b$ 到非整数基的连续插值，并证明相关的狄利克雷级数在其绝对收敛横坐标左侧至少一个单位处具有亚纯延拓。