阿贝尔函子演算中的方向导数与高阶链式法则

在本文中，我们考虑阿贝尔函子演算，即由第二作者和McCarthy建立的阿贝尔范畴函子演算。我们仔细构造了一个由阿贝尔范畴和适当同伦定义的函子组成的范畴，并证明该范畴配备方向导数后，成为Blute、Cockett和Seely意义下的笛卡尔微分范畴。这提供了一个抽象框架，使经典演算与函子演算之间的某些类比变得明确。受Huang、Marcantognini和Young关于函数高阶方向导数链式法则的启发，我们为阿贝尔范畴函子定义了高阶方向导数。我们证明，我们的高阶方向导数通过一个Faà di Bruno型公式与第二作者和McCarthy的迭代偏方向导数相关联。利用笛卡尔微分范畴结构的一个特性，我们得到了方向导数的高阶链式法则，并以此给出了函子复合$F\circ G$的Taylor塔第$n$层的公式，该公式用$F$和$G$的导数与方向导数表示，这让人联想到Arone和Ching对空间或谱函子的类似表述。全文始终提供显式的链同伦等价，这些等价加强了先前关于阿贝尔函子演算性质的拟同构。