$\mathbb{Z}_p^k$中零权有向圈

对有限阿贝尔群$A$，定义$f(A)$为最小整数，使得对顶点数为$f$的任意完全有向图$\Gamma$及任意映射$w:E(\Gamma) \rightarrow A$，存在$\Gamma$中的有向圈$C$满足$\sum_{e \in E(C)}w(e) = 0$。$f(A)$的研究由Alon与Krivelevich(2021)发起。本文中，我们证明$f(\mathbb{Z}_p^k) = O(pk (\log k)^2)$，其中$p$为素数；当$p = 2$时改进界为$O(k \log k)$。这些界在关于$k$的多对数因子范围内是最优的。