数域理想中的丢番图避让与小高度本原元

设 $K$ 为次数为 $d$ 的数域。则整数环 ${\mathcal O}_K$ 中的每个理想 $I$ 都包含无穷多个本原元，即次数为 $d$ 的元素。基于 W. Ruppert 1998年猜想方向上的一些近期进展，可以得出 $I$ 中此类元素最小高度的一个界限。我们在二次域情形下证明了此类非常显式的界限。进一步，我们考虑位于有限个其他理想并集之外的一个理想中的本原元，并证明了此类最小元素高度的一个界限。我们的主要工具是关于格中位于代数超曲面及有限个有限指标子格并集之外的小范数点的一个结果，该结果通过融合先前的两个丢番图避让结果证得。我们还针对 $\mathbb{R}^d$ 正象限中的格点获得了类似的避让结果，并利用它在全实数域理想中、位于有限个其他理想并集之外，得到了一个小高度的全正本原元。此外，我们使用避让方法证明了给定数域的生成非稀疏多项式的 Mahler 测度的一个界限。最后，我们给出了二次数域中主理想最小本原生成本高度的一个界限。