具有等核性质的维数向量

令$r \in \mathbb N$，$\Gamma_r$为具有$r$个箭头$\gamma_1,\ldots,\gamma_r \colon 1 \to 2$的广义Kronecker箭图，$\delta \in \Delta_+(\Gamma_r)$为$\Gamma_r$的正根。若对所有$\alpha \in k^r \setminus \{0\}$及每个维数向量$\underline{dim} M = \delta$的不可分解表示$M$，$k$-线性映射$M^\alpha := \sum^r_{i=1} \alpha_i M(\gamma_i) \colon M_1 \to M_2$均为单射，则称$\delta$具有等核性质。我们证明$\delta$具有等核性质当且仅当$q_{\Gamma_r}(\delta) + \delta_2 - \delta_1 \geq 1$，其中$q_{\Gamma_r} \colon \mathbb Z^2 \to \mathbb Z, (x,y) \mapsto x^2 + y^2 - rxy$表示$\Gamma_r$的Tits二次型。