临界 Sobolev 空间中实与复 Monge-Ampère 方程极小集的维数

我们证明，在 $\mathbb{C}^n$ 中求解 $\det (\partial \overline{\partial} u) \geq 1$ 且属于 $W^{2, \frac{n(n-k)}{k}}$ 的非负多次下调和函数，其零集不包含维数为 $k$ 或更大的解析子簇。在此过程中，我们证明了实 Monge-Ampère 方程的一个类似结果，这也是全新的。鉴于 Pogorelov 和 B{\l}ocki 的著名例子，这些结果是尖锐的。作为应用，在实情形下，我们将内部正则性结果推广至 $u$ 属于临界 Sobolev 空间（或更一般地，某些 Sobolev-Orlicz 空间）的情形。