双曲方程的微分代换与对称

考虑了形如 $v=P(x,u,u_{x})$ 的微分代换，对其存在微分算子 $H=\sum^{k}_{i=0} \alpha_{i} D^{i}_{x}$ 使得该微分代换将方 程 $u_{t}=H[s(x,P,D_{x}(P),...,D^{k}_{x}(P))]$ 映射为对任意函数 $s$ 及任意非负整数 $k$ 的演化方程。作者所知的所有形如 $v=P(x,u,u_{x})$ 的微分代换都有此性质。例如，著名的 Miura 变换 $v=u_{x}-u^{2}$ 将任意形如 $$u_{t}=(D^{2}_{x}+2uD_{x}+2u_{x}) [s(x,u_{x}-u^{2},D_{x}(u_{x}-u^{2}),...,D^{k}_{x}(u_{x}-u^{2}))]$$ 的方程映射为方程 $$v_{t}=(D^{3}_{x}+4vD_{x}+2v_{x})[s(x,v,{{\partial v}\over{\partial x }},...,{{\partial^{k} v}\over{\partial x^{k}}})].$$ 给出了此类微分代换的完整分类。构造了具有上述性质的无穷多组两两不等价的微分代换。此外，得到了关于双曲方程的对称与不变函数的一般性结果。