树上与双树上位势理论之间的差异

在本注记中我们给出若干反例。其一表明双树上的小能量控制不成立。第二个反例表明，在普通树上因平凡原因（且常数 $C=1$）总成立的偏能量估计，在双树上对任意常数 $C$ 均一般不成立。另一方面，一种称为代理极大值原理的较弱偏能量估计：$\int_{T^2} V^\nu_\varepsilon \, d\nu \le C_\tau \varepsilon^{1-\tau} {\mathcal E}[\nu]^{\tau} |\nu|^{1-\tau}$ 在双树上对任意 $\tau>0$ 成立。我们证明，与单树上的估计不同，在双树上不能取 $\tau=0$。在三树上，我们已知前述估计（代理极大值原理）对 $\tau=2/3$ 成立。我们不知道在四树上是否存在任意 $\tau<1$ 的此类估计。第三个反例否定了估计 $\int_{T^2} V^\nu_x \, d\nu \le F(x)$ 对双树 $T^2$ 上某个概率测度 $\nu$ 和任意函数 $F$ 成立。在单树上 $F(x)=x$ 总足以使该不等式成立。