树根与树枝的变分问题

本文研究 [7] 中引入的两类变分问题，涉及树根与树枝的最优形状。给定描述叶片分布的测度 $\mu$，阳光泛函 $\S(\mu)$ 计算叶片捕获的总光量。对于描述根毛细胞分布的测度 $\mu$，收获泛函 $\H(\mu)$ 计算根吸收的总水分与养分。在这两种情形下，我们寻求在将养分从根运输到树干或从树干运输到叶片的分支运输成本约束下，使这些泛函极大的测度 $\mu$。与 [7] 相比，此处我们不施加对最优测度 $\mu$ 总质量的任何先验界，因而需要更精细的先验估计。在树枝的无约束优化问题中，我们证明存在具有有界支撑和有界总质量的最优测度。在树根的无约束问题中，我们证明存在具有有界支撑但总质量可能无界的最优测度。论文最后一节分析了最优树的大小如何依赖于定义各泛函的参数。