带噪声树度量的测度的最优传输

我们研究支撑于树度量空间上的概率测度的最优传输（OT）问题。已知此类OT问题（即树-Wasserstein（TW））具有闭式表达，但从根本上依赖于输入测度支撑集上的底层树结构。然而在实践中，给定的树结构可能因噪声或对抗性扰动而失真。为缓解此问题，我们遵循极大-极小鲁棒OT方法，该方法考虑输入测度在树度量不确定性集上的最大可能距离。一般而言，由于非凸与非光滑性，该方法难以计算，即便对支撑于一维空间的测度亦然，这阻碍了其实际应用，尤其在大尺度情形下。本工作中，我们从边删除/添加的视角提出新颖的树度量不确定性集，以优雅的框架涵盖多样的树结构。进而，基于所提不确定性集并利用支撑集上的树结构，我们证明鲁棒OT亦如标准OT（即TW）一样具有闭式表达以便快速计算。此外，我们证明鲁棒OT满足度量性质且为定负。我们随后利用其定负性提出正定核，并在文档分类与拓扑数据分析的多个真实数据集上通过若干仿真进行了验证。