四维中具一般核的布朗运动交集的偏差

本文中，我们找到了 Chen (2004) 关于两个独立布朗运动 $B$ 与 $B'$ 相互交集的适中偏差结果的一个自然四维类比。我们致力于理解如下量，对一特定核族 $H$，\begin{equation*} \int_0^1 \int_0^1 H (B_s - B'_t) \text{d}t \text{d}s . \end{equation*} 给定 $H(z) \propto \frac{1}{|z|^{\gamma}}$ 且 $0 < \gamma \le 2$，我们发现上述量的偏差统计可关联到分析中的如下不等式族，\begin{equation} \label{eq:maxineq} \inf_{f: \|\nabla f\|_{L^2}<\infty} \frac{\|f\|^{(1-\gamma/4)}_{L^2} \|\nabla f\|^{\gamma/4}_{L^2}}{ [\int_{(\mathbb{R}^4)^2} f^2(x) H(x-y) f^2(y) \text{d}x \text{d}y]^{1/4}}. \end{equation} 此外，当 $H$ 为格林函数时，上述对应广义 Gagliardo-Nirenberg 不等式；这被用于偏微分方程领域中 Hartree 方程的分析。因此，本文发现了布朗运动统计与分析中相关不等式族之间一个新的深刻联系。