由事件后观测确定扩散与波动方程源项：唯一性与稳定性

我们考虑扩散方程与波动方程：$$\partial_t^ku(x,t) = \Delta u(x,t) + \mu(t)f(x), \quad x\in \Omega, \, t>0, \quad k=1,2$$ 具有零初值与边界条件，其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 为有界区域。我们针对如下反问题建立了唯一性和/或稳定性结果：1. 给定 $f(x)$ 确定 $\mu(t)$，$0<t<T$；2. 给定 $\mu(t)$ 确定 $f(x)$，$x\in \Omega$，所依据的数据为 $u$：固定点 $x_0\in \Omega$ 处的 $u(x_0,\cdot)$ 或子边界上随时间区间的 Neumann 数据。在我们的反问题中，数据取自时间区间 $T_1<t<T_1$（原文如此），假设 $T<T_1<T_2$ 且当 $t\ge T$ 时 $\mu(t)=0$，这意味着源在时刻 $T$ 后停止活动，且观测仅在 $T$ 之后开始。尽管反问题在 $T=0$ 的情形已被充分研究，此假设对于事件后此类后验数据而言是实际的。我们建立了扩散方程与波动方程的非唯一性、唯一性及条件稳定性。证明基于解 $u(x,t)$ 的特征函数展开，并依赖于多项式逼近的广义 Weierstrass 定理、殆周期函数、Carleman 估计、非调和 Fourier 级数等多方面的知识。