源于向量空间格的关联矩阵与 Hessian 矩阵的行列式

设 $\mathcal{V}=\bigsqcup_{i=0}^n\mathcal{V}_i$ 为有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 $n$ 维向量空间的子空间格，设 $\mathcal{A}$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上且以 $\mathcal{V}$ 为 $\mathbb{Q}$-基的分次 Gorenstein 代数。令 $F$ 为 $\mathcal{A}$ 的 Macaulay 对偶生成元。我们显式计算了在点 $X_1 = X_2 = \cdots = X_N=1$ 处求值的 Hessian 行列式 $|\frac{\partial ^2F}{\partial X_i \partial X_j}|$，并将其与 $\mathcal{V}_1$ 和 $\mathcal{V}_{n-1}$ 之间的关联矩阵的行列式联系起来。我们的探索动机在于，这两个矩阵均自然地出现于对该格的 Sperner 性质以及与之相关的分次 Artinian Gorenstein 代数的 Lefschetz 性质的研究中。